Question

【题目】已知Rt△ABC≌Rt△DBE，∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D．

（1）将两三角形按图①方式摆放，其中点E落在AB上，DE所在直线交边AC于点F．求证：AF+EF=DE；

（2）若将两三角形按照图②方式摆放，边AC的延长线与DE相交于点F．你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2）不成立．此时AF、EF与DE的关系为AF=EF+DE．

【解析】

试题分析：（1）由Rt△ABC≌Rt△DBE推出BC=BE，连接BF，由HL证Rt△BCF≌Rt△BEF，推出CF=EF即可；

（2）猜想（1）结论不成立，关系式是AF=EF+DE，连接BF，由HL证Rt△BEF≌Rt△BCF，推出EF=FC，由AF=AC+FC可推出AF=DE+EF．

试题解析：（1）证明：连接BF．由Rt△ABC≌Rt△DBE知：BC=BE．在Rt△BCF和Rt△BEF中，∵BC=BE，BF=BF，∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴CF=EF，∵AC=DE，CF+FA=CA，∴AF+EF=DE；

（2）解：（1）中猜想结论不成立，关系式是AF=EF+DE．理由是：

连接BF．在Rt△BEF和Rt△BCF中，∵BC=BE，BF=BF，∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL），∴EF=FC，∵AC=DE，由AF=AC+FC知：AF=DE+EF．