Question

【题目】如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当AE=2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，

∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE，

∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，

∴∠CBE=∠ABE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，

∴∠CBE=∠ABE=45°，

∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形，

∴AB=AD=BC=CD，

∴四边形ABCD是正方形

（2）解：当AE=2EF时，FG=3EF．

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，

∵AE=2EF，

∴BE：DE=AE：EF=2，

∴BG：AD=BE：DE=2，

即BG=2AD，

∵BC=AD，

∴CG=AD，

∵△ADF∽△GCF，

∴FG：AF=CG：AD，

即FG=AF=AE+EF=3EF

【解析】（1）由∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，利用三角形外角的性质，即可得∠CBE=∠ABE，又由四边形ABCD是矩形，即可证得△ABD与△BCD是等腰直角三角形，继而证得四边形ABCD是正方形；（2）由题意易证得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE=2EF，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得FG=3EF．
【考点精析】解答此题的关键在于理解矩形的性质的相关知识，掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等，以及对正方形的判定方法的理解，了解先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等；先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角．