Question

【题目】（几何背景）如图1，AD为锐角△ABC的高，垂足为D．求证：AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2

（知识迁移）如图2，矩形ABCD内任意一点P，连接PA、PB、PC、PD，请写出PA、PB、PC、PD之间的数量关系，并说明理由．

（拓展应用）如图3，矩形ABCD内一点P，PC⊥PD，若PA＝a，PB＝b，AB＝c，且a、b、c满足a2﹣b2＝c2，则的值为　 　（请直接写出结果）

Answer 1

【答案】【几何背景】：详见解析；【知识迁移】：详见解析；【拓展应用】：

【解析】

几何背景：由 Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，则结论可证．

知识迁移：过P点作PE⊥AD，延长EP交BC于F，可证四边形ABFE，四边形DCFE是矩形．根据上面的结论求得PA、PB、PC、PD之间的数量关系．

拓展应用：根据勾股定理可列方程组，可求PD＝c，PC＝c即可得.

解：几何背景：在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2

Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，

∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，

∴AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2．

知识迁移：BP2﹣PC2 ＝BF2﹣CF2．

如 图：

过P点作PE⊥AD，延长EP交BC于F

∴四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°

又∵PE⊥AD

∴PF⊥BC

∵PE是△APD的高

∴PA2﹣PD2＝AE2﹣DE2．

∵PF是△PBC的高

∴BP2﹣PC2 ＝BF2﹣CF2．

∵∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，PE⊥AD，PF⊥BC

∴四边形ABFE，四边形DCFE是矩形

∴AE＝BF，CF＝DE

∴PA2﹣PD2＝BP2﹣PC2．

拓展应用：∵PA2﹣PD2＝BP2﹣PC2．

∴PA2﹣PB2＝c2．

∴PD2﹣PC2＝c2．

且PD2+PC2＝c2．

∴PD＝c，PC＝c

∴，

故答案为.