Question

【题目】如图，已知AO为Rt△ABC的角平分线，∠ACB=90°，，以O为圆心，OC 为半径的圆分别交AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）求的值。

（3）若⊙O的半径为4，求的值．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) ;(3) .

【解析】分析：（1）作垂直，证半径，先根据AAS证明△OGA≌△OCA，可得OC=OG，可知OG为为⊙O的半径，可得结论；（2）设AC=4x，BC=3x，则AB=5x，根据等角的三角函数可得tan∠CAO=tan∠GAO=；（3）先根据勾股定理求得AO=，则求得AD=OA-OD=．证明△DFA∽△CDA，列比例式DA：AC=AF：AD，代入可得AF的长，代入可得结论．

详解：（1）证明：作OG⊥AB于点G．

∵∠ACB=∠OGA=90°，∠GAO=∠CAO，AO=AO，

∴△OGA≌△OCA，

∴OC=OG，

∵OC为⊙O的半径，

∴AB是⊙O的切线；

（2）解：设AC=4x，BC=3x，则AB=5x，

由切线长定理知，AC=AG=4x，故BG=x．

∵tan∠B=OG：BG=AC：BC=4：3，

∴OG=，

∴tan∠CAO=tan∠GAO===；

（3）解：由（2）可知 在Rt△OCA中，AO=

∴AD=OA﹣OD=

连接CD，则∠DCF+∠ECD=∠ECD+∠CEF，

∴∠DCF=∠CEF，

又∠CEF=∠EDO=∠FDA，

∴∠DCF=∠ADF，又∠FAD=∠DAC，

∴△DFA∽△CDA，

∴DA：AC=AF：AD，

即：12=AF：

∴AF=，CF=12-=

∴