Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，连接，点分别是的中点.，且始终保持边经过点，边经过点，边与轴交于点，边与轴交于点.

（1）填空，的长是 ，的度数是 度

（2）如图2，当，连接

①求证：四边形是平行四边形；

②判断点是否在抛物线的对称轴上，并说明理由；

（3）如图3，当边经过点时（此时点与点重合），过点作，交延长线上于点，延长到点，使，过点作，在上取一点，使得（若在直线的同侧），连接，请直接写出的长.

Answer 1

【答案】(1)8，30；（2）①详见解析；②点D在该抛物线的对称轴上，理由详见解析；（3）12 .

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线的解析式求得点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，8），即可得OA=8,根据锐角三角函数的定义即可求得=30°；（2）①由，根据平行线分线段成比例定理可得,又因OM=AM,可得OH=BH,再由BN=AN，根据三角形的中位线定理可得，即可判定四边形AMHN是平行四边形；②点D在该抛物线的对称轴上，如图，过点D作DRy轴于点R，由可得∠NHB=∠AOB=90°，由，可得∠DHB=∠OBA=30°，又因，根据全等三角形的性质可得∠HDG=∠OBA=30°，即可得∠HDN=∠HND，所以DH=HN=OA=4，在Rt△DHR中，DR=DH=,即可判定点D的横坐标为-2.又因抛物线的对称轴为直线，所以点D在该抛物线的对称轴上；

试题解析：(1)8，30；

（2）①证明：∵，

∴,

又∵OM=AM,

∴OH=BH,

又∵BN=AN

∴

∴四边形AMHN是平行四边形

②点D在该抛物线的对称轴上，理由如下：

如图，过点D作DRy轴于点R，

∵

∴∠NHB=∠AOB=90°，

∵，

∴∠DHB=∠OBA=30°，

又∵

∴∠HDG=∠OBA=30°，

∴∠HDG=∠DHB=30°，

∴∠HGN=2∠HDG=60°，

∴∠HNG=90°-∠HGN=90°-60°=30°，

∴∠HDN=∠HND，

∴DH=HN=OA=4

在Rt△DHR中，DR=DH=,

∴点D的横坐标为-2.

又因抛物线的对称轴为直线，

∴点D在该抛物线的对称轴上.

(3)12 .