Question

【题目】如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为（ ）

A. 10 B. 16 C. 8 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

由BO为角平分线，得到一对角相等，再由MN平行于BC，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，等量代换可得出∠MBO=∠MOB，利用等角对等边得到MO=MB，同理得到NO=NC，而三角形ABC的周长等于三边相加，即AB+BC+AC，其中AB=AM+MB，AC=AN+NC，等量代换后可得出三角形ABC的周长等于三角形AMN的周长与BC的和，即BC等于两三角形的周长之差，将两三角形的周长代入，即可求出BC的长．

解：∵OB平分∠MBC，

∴∠MBO=∠OBC，

又MN∥BC，

∴∠MOB=∠OBC，

∴∠MOB=∠MBO，

∴MB=MO，同理可得∠NOC=∠NCO，

∴NO=NC，

∴（AB+AC+BC）-（AM+AN+MN）

=（AM+MB+AN+NC+BC）-（AM+AN+MN）

=（AM+MO+AN+NO+BC）-（AM+AN+MN）

=（AM+AN+MN+BC）-（AM+AN+MN）

=BC，

又∵△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，即AB+AC+BC=20，AM+AN+MN=12，

则BC=20-12=8．

故选：C．