Question

【题目】如图1，已知A（a，0），B （0，b）分别为两坐标轴上的点，且a，b满足a2﹣24a+|b﹣12|=﹣144，且3OC=OA．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）若D（2，0），过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点，且DF=DE，设E、F两点的横坐标分别为xE、xP，求xE+xP的值；

（3）如图2，若M（4，8），点P是x轴上A点右侧一动点，AH⊥PM于点H，在HM上取点G，使HG=HA，连接CG，当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数是否改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（12，0），B（0，12），C（﹣4，0）；（2）4；（3）不改变，∠CGM=45°.

【解析】

（1）由偶次方和算术平方根的非负性质求出a和b的值，得出点A、B的坐标，再求出OC，即可得出点C的坐标；

（2）作EG⊥x轴于G，FH⊥x轴于H，由三角形的面积关系得出DF=DE，由AAS证明△FDH≌△EDG，得出DH=DG，即可得出结果；

（3）连接MA、MC，过C作CT⊥PM于T，证明△CMT≌△MAH，可证明△CGT是等腰直角三角形，可求得∠CGM=45°

解：（1）∵a2﹣24a+|b﹣12|=﹣144，

∴（a﹣12）2+|b﹣12|=0，

∴a﹣12=0，b﹣12=0，

∴a=b=12，

∴A（12，0），B（0，12），

∴OA=OB=12，

∵OC：OA=1：3．

∴OC=4，

∴C（﹣4，0）；

（2）作EG⊥x轴于G，FH⊥x轴于H，如图1所示：

则∠FHD=∠EGD=90°，

∵BD平分△BEF的面积，

∴DF=DE，

在△FDH和△EDG中，

，

∴△FDH≌△EDG（AAS），

∴DH=DG，即﹣xE+2=xF﹣2，

∴xE+xF=4；

（3）不改变，理由如下：
如图3，连接MA、MC，过C作CT⊥PM于T，过M作MS⊥x轴于点S，

∵M（4，8），C（-4，0），A（12，0），

∴S（4，0），

∴MS垂直平分AC，

∴MC=MA，且MS=SC，

∴∠CMA=90°，

∴∠CMT+∠AMH=∠TCM+∠CMT=90°，
∴∠TCM=∠AMH，
在△CMT和△MAH中
，

∴△CMT≌△MAH（AAS），
∴TM=AH，CT=MH，
又AH=HG，
∴MT=GH，
∴GT=GM+MT=MG+GH=MH=CT，
∴△CGT是等腰直角三角形，
∴∠CGM=45°，
即当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数不改变．