Question

【题目】如图，点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，连接CM，作线段CM的垂直平分线，分别交边CB和CA的延长线于点D、E，若∠C=90°，AB=20，tanB= ，则DE= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵∠C=90°，tanB= ， 设AC=2k，BC=5k，
∴AB= = k=20，
∴k= ，
∴BC= ，
连接DM，

∵∠C=90°，点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，
∴AM=CM=BM AB=10，
∴∠MCB=∠B，
∵DE是线段CM的垂直平分线，
∴CD=DM，
∴∠DCM=∠DMC，
∴△CDM∽△CMB，
∴ = ，
∴CD= ，
∵DE垂直平分CM，
∴∠E+∠ECN=∠ECN+∠NCD=90°，
∴∠E=∠NCD，
∴△CDE∽△CDN，
∴ = ，
∵DN= =2，
∴DE= = ．
所以答案是： ．
【考点精析】掌握线段垂直平分线的性质和解直角三角形是解答本题的根本，需要知道垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．