Question

【题目】如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）设点P的纵坐标为yP ， 求yP的最小值，此时抛物线F上有两点（x1 ， y1），（x2 ， y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；
（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），

∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，

解得，m=﹣1，

∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1；

（2）解：当x=﹣2时，yp=4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，

∴当m=﹣2时，yp的最小值﹣2，

此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，

∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，

∵x1＜x2≤﹣2，

∴y1＞y2；

（3）解：m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，

理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），

∴ 或 或 ，

解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．

【解析】（1）根据抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2过点C（﹣1，﹣2），可以求得抛物线F的表达式；（2）根据题意，可以求得yP的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y1与y2的大小；（3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题