Question

【题目】如图，点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数 的图象上．

（1）求m，k的值；
（2）求直线AB的函数表达式；
（3）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M，N的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数y= 的图象上，

∴k=xy，

∴k=m（m+1）=（m+3）（m﹣1），

∴m2+m=m2+2m﹣3，

解得m=3，

∴k=3×4=12；

（2）

解：∵m=3，

∴A（3，4），B（6，2），

设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），

则 ，解得 ，

∴直线AB的解析式为：y=﹣ x+6；

（3）

解：作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥y轴于N，两线交于P，

∵由（1）知：A（3，4），B（6，2），

∴AP=PM=2，BP=PN=3，

∵四边形ANMB是平行四边形．

当M（﹣3，0）、N（0，﹣2）时，根据勾股定理能求出AM=BN，AB=MN，

即四边形AMNB是平行四边形，

∴此时M（3，0）、N（0，2）或M（﹣3，0）、N（0，﹣2）．

【解析】（1）根据反比例函数解析式求得k=xy；然后利用反比例函数图象上点的坐标特征列出关于m的方程k=m（m+1）=（m+3）（m﹣1），从而求得k、m的值；（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（3）这样的平行四边形有2个：点M分别位于x轴的正负半轴上、点N分别位于y轴的正负半轴上．
【考点精析】掌握确定一次函数的表达式和平行四边形的性质是解答本题的根本，需要知道确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．