Question

【题目】建立模型：如图1，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°，顶点C在直线l上．

（1）操作：

过点A作AD⊥于点D，过点B作BE⊥于点E．求证：△CAD≌△BCE．

（2）模型应用：

①如图2，在直角坐标系中，直线：与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线绕着点A顺时针旋转45°得到直线．求直线的函数表达式．

②如图3，在直角坐标系中，点B（4，3），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是直线BC上的一个动点，点Q（a，5a﹣2）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）（3）或．

【解析】

（1）根据AAS即可证明△DAC≌△ECB；

（2）过点B作BC⊥BA，交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴于点D．根据得到AO＝3，OB＝1，根据△DCB≌△OBA可得点C的坐标为（－4，1），再根据待定系数法即可求解；

（3）根据题意分两种情况分别作图即可求解.

（1）∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠BCE＝90°

∵AD⊥l，BE⊥l，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠ACD＋∠DAC＝90° ，

∴∠DAC＝∠ECB

∵在△DAC和△ECB中，∠ADC＝∠CEB，∠DAC＝∠ECB，AC＝CB

∴△DAC≌△ECB（AAS）

（2）过点B作BC⊥BA，交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴于点D．

由直线：与y轴交于点A，与x轴交于点B，

可求点A坐标为（0，3），点B坐标为（－1，0），

∴AO＝3，OB＝1．

由△DCB≌△OBA可得，DC＝OB＝1，DB＝OA＝3，

∴点C的坐标为（－4，1）

设直线m的解析式为：y＝kx＋b，把（0，3），（－4，1）代入，

求得 ．

（3）如图3，由△AEQ≌△QFP可得AE＝QF，3－（5a－2）＝4－a，

求得 ．

如备用图，由△AEQ≌△QFP可得AE＝QF，（5a－2）－3＝4－a，

求得 ．