Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线AC-CB运动，到点B停止．当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交AB 于点Q，再以PQ为斜边作等腰直角三角形△PQR，且点R与△ABC的另一条直角边始终在PQ同侧，设△PQR与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位）．点P的运动时间为t（秒）．

（1）求点P在AC边上时PQ的长，（用含t的代数式表示）；
（2）求点R到AC、PQ所在直线的距离相等时t的取值范围；
（3）当点P在AC边上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出点R落在△ABC高线上时t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图①，

由题意可知AP=4t，

tanA= ，

∴PQ=3t；

（2）解：①当点P在AC边上时，如图①．

∵∠RPQ=45°，∠CPQ=90°，

∴∠CPR=45°=∠RPQ，

∴点R到直线AC、PQ距离相等，

此时0＜t＜1．

②当点P在BC边上时，过点R作RH⊥PQ于点H，如图②，

则有PC=4t-4，PB=7-4t，

∵tanB= ，

∴PQ= PB= （7-4t）．

由题可得：RH= PC．

∵RH= PQ，

∴PC=PQ，

∴4t-4= （7-4t），

解得：t= ．

综上所述：0＜t＜1或t= ；

（3）解：①当0＜t≤ 时，如图①．

过点R作RH⊥PQ于点H，

S= PQRH= ×3t× = t2．

②当 ＜t＜1时，如图③．

过点R作RH⊥PQ于点H，交BC于点G，

则有RG⊥MN，RH= PQ= t，GH=PC=4-4t，

∴S=S△RPQ-S△RMN= PQRH- MNRH

=RH2RG2=（ t）2-[ t-（4-4t）]2

=-28t2+44t-16；

（4）解：点R落在△ABC高线上时，t的值为 ， ， ， .

可分以下几种情况讨论：如图④～⑦

①点P在AC上，且点R在AB的高CH上，如图④，

过点P作PG⊥CH于G，

易证△PGR≌△RHQ，则有PG=RH，GR=QH．

易求得AB=5，CH= ，AH= ，BH= ．

PC=4-4t，CG= PC= （4-4t），PG= PC= （4-4t），

AQ= AP=5t，QH=AH-AQ= -5t．

根据CH=CG+GR+RH=CG+QH+PG= ，得

（4-4t）+ -5t+ （4-4t）= ，

解得：t= ．

②点P在AC上，且点R在AC的高BC上，如图⑤

过点R作RH⊥PQ于H，

易得PQ=2RH=2PC，PQ= AP=3t，PC=4-4t，

∴3t=2（4-4t），

解得：t= ．

③点P在BC上，且点R在BC的高AC上，如图⑥，

过点R作RH⊥PQ于H，

易得PQ=2RH=2PC，PQ= PB= （7-4t），PC=4t-4，

∴ （7-4t）=2（4t-4），

解得：t= ．

④点P在BC上，且点R在AB的高CH上，如图⑦，

过点P作PG⊥CH于G，

易证△PGR≌△RHQ，则有PG=RH，GR=QH．

易证△CGP∽△CHB，

∴ ．

∵BC=3，CH= ，BH= ，CP=4t-4，

∴CG= PC= （4t-4），PG= PC= （4t-4），

同理可得QB= PB= （7-4t），QH=QB-BH= （7-4t）- ．

根据CH=CG+GH=CG+RH-RG=CG+PG-QH= ，得

（4t-4）+ （4t-4）-[ （7-4t）- ]= ，

解得：t= ．

【解析】（1）根据题意求出tanA的值，得到点P在AC边上时PQ的长；（2）①当点P在AC边上时，得到点R到直线AC、PQ距离相等，此时0＜t＜1；②当点P在BC边上时，由tanB的值求出PQ的代数式，点R到AC、PQ所在直线的距离相等时t的取值范围；（3）根据三角形的面积公式得到点P在AC边上运动时，S与t之间的函数关系式；（4）①点P在AC上，且点R在AB的高CH上，得到△PGR≌△RHQ，根据全等三角形的对应边相等，得到PG=RH，GR=QH；求出t的值；②点P在AC上，且点R在AC的高BC上时，求出t的值；③点P在BC上，且点R在BC的高AC上时，直接求出t的值；④点P在BC上，且点R在AB的高CH上时，得到△CGP∽△CHB，得到比例，求出t的值；此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．