Question

【题目】定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．
理解：
（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；

（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；

（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC= ，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1所示（画2个即可）．

（2）解：如图2，连接AC，BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

在Rt△ADB和Rt△ACB中，

∴Rt△ADB≌Rt△ACB，

∴AD=BC，

又∵AB是⊙O的直径，

∴AB≠CD，

∴四边形ABCD是对等四边形．

（3）解：如图3，点D的位置如图所示：

①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；

②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，

过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F，

设BE=x，

∵tan∠PBC= ，

∴AE= x，

在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，

即x2+( x)2=132，

解得：x1=5，x2-5（舍去），

∴BE=5，AE=12，

∴CE=BC-BE=6，

由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，

在Rt△AFD2中，FD2= ，

∴CD2=CF-FD2=12- ，CD3=CF+FD2=12+ ，

综上所述，CD的长度为13、12- 或12+ ．

【解析】（1）根据题意画出两个等腰梯形即可；（2）由AB是⊙O的直径，得到Rt△ADB≌Rt△ACB，得到AD=BC，由AB≠CD，得到四边形ABCD是对等四边形（3）①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，由tan∠PBC的值，得到AE的代数式，根据勾股定理求出CE=BC-BE的值，在Rt△AFD2中，根据勾股定理求出CD2=CF-FD2、CD3=CF+FD2的值，得到CD的长度.
【考点精析】掌握圆内接四边形的性质和锐角三角函数的定义是解答本题的根本，需要知道把圆分成n(n≥3):1、依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2、经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数．