Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点、的坐标分别为、，顶点在轴的正半轴上，的高交线段于点，且.

（1）求线段的长；

（2）动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，且点到达点处时、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示，直接写出相应的的取值范围；

（3）在（2）的条件下，点是直线上的一点且，是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）当点Q在线段BO上时，0＜t＜；当点Q在线段BO的延长线上时，＜t＜5；（3）存在，当点F在线段AC的延长线上时，t=1；当点F在线段AC上时，t=．

【解析】

（1）易证∠OAC=∠CBD，即可证明△AED≌△BCD，可得AE=BC，即可解题；
（2）分类讨论：①当点Q在线段BO上时，根据S=PEOQ即可解题；
②当点Q在线段BO的延长线上时，根据S=PEOQ即可解题；
（3）有两种情况：①当点F在线段AC的延长线上时，用t分别表示PE，QC，根据PE=QC即可求得t的值，即可解题，
②当点F在线段AC上时（如图4），点F与D重合，用t分别表示PE，QC，根据PE=QC即可求得t的值，即可解题．

解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE=∠BDC=90°，
∴∠CBD+∠ACB=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠OAC+∠ACB=90°，
∴∠OAC=∠CBD，
在△AED和△BCD中，

，
∴△AED≌△BCD（ASA），
∴AE=BC，
∵B（-2，0），C（3，0）
∴BC=5，
∴AE=5．
（2）分类讨论：①当点Q在线段BO上时，（如图1）

S=PEOQ=t（2-4t）=-2t2+t，（0＜t＜）；
②当点Q在线段BO的延长线上时，（如图2）

S=PEOQ=t（4t-2）=2t2-t，（＜t＜5）；
（3）有两种情况：
①当点F在线段AC的延长线上时（如图3）
可知∠BEP=∠FCQ，BE=CF，此时存在△PBE≌△QCF，
则PE=QC，

此时CQ=5-4t，PE=t，
∴5-4t=t，
解得：t=1；
②当点F在线段AC上时（如图4），点F与D重合，
可知∠BEP=∠FCQ，BE=CF，此时存在△PBE≌△QCF，
则PE=QC，

此时CQ=4t-5，PE=t，
∴4t-5=t，
解得：t=．

故答案为：（1）5；（2）当点Q在线段BO上时，0＜t＜；当点Q在线段BO的延长线上时，＜t＜5；（3）存在，当点F在线段AC的延长线上时，t=1；当点F在线段AC上时，t=．