Question

【题目】如图，.

（1）如图①，在平面直角坐标系中，以为顶点，为腰在第三象限作等腰，若，求点的坐标；

（2）如图②，为轴负半轴上一个动点，以为顶点，为腰作等腰，过作轴于点，当点沿轴负半轴向下运动时，试问的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由；

（3）如图③，已知点坐标为，是轴负半轴上一点，以为直角边作等腰，点在轴上，，设、，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，的和是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）C点的坐标为（-6，-2）；（2）OP-DE的值不变，值为2；（3）m+n的和不变，值为-8．

【解析】

（1）作CD⊥x轴于D，证明△ACD≌△BAO，根据全等三角形的性质得到DC=OA=2，AD=OB=4，计算即可；
（2）作DF⊥y轴于F，证明△APO≌△DPF，得到PF=OA=2，DF=OP，结合图形计算；
（3）作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，仿照（2）的证明过程解答．

解：（1）作CD⊥x轴于D，

∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
在△ACD和△BAO中，

，
∴△ACD≌△BAO，
∴DC=OA=2，AD=OB=4，
∴OD=6，
∴C点的坐标为（-6，-2）；

（2）OP-DE的值不变，值为2，
理由如下：作DF⊥y轴于F，
∴∠PDF+∠DPF=90°，
∵∠APD=90°，
∴∠APO+∠DPF=90°，
∴∠APO=∠PDF，
在△APO和△DPF中，

，
∴△APO≌△DPF，
∴PF=OA=2，DF=OP，
∴OP-DE=OP-OF=PF=2；

（3）m+n的和不变，值为-8，
理由如下：作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
由（2）可知，△HNF≌△GNF，
∴GN=MH，FN=FM=OM=4，
m+n=-（OG-OH）=-（GN+ON-MH+OM）=-（ON+OM）=-8．

故答案为：（1）C点的坐标为（-6，-2）；（2）OP-DE的值不变，值为2；（3）m+n的和不变，值为-8．