Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于切点为G，连接AG交CD于K．

（1）求证：KE=GE；

（2）若KG2=KDGE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥EF，证明见解析；（3）FG= ．

【解析】试题分析：（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；

（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KDGE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；

（3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．

试题解析：（1）如图1，连接OG．

∵EG为切线，

∴∠KGE+∠OGA=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠AKH+∠OAG=90°，

又∵OA=OG，

∴∠OGA=∠OAG，

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，

∴KE=GE．

（2）AC∥EF，理由为连接GD，如图2所示．

∵KG2=KDGE，即 ，

∴ ，

又∵∠KGE=∠GKE，

∴△GKD∽△EGK，

∴∠E=∠AGD，

又∵∠C=∠AGD，

∴∠E=∠C，

∴AC∥EF；

（3）连接OG，OC，如图3所示，

∵EG为切线，

∴∠KGE+∠OGA=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠AKH+∠OAG=90°，

又∵OA=OG，

∴∠OGA=∠OAG，

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，

∴KE=GE．

∵sinE=sin∠ACH=

，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，

∵KE=GE，AC∥EF，

∴CK=AC=5t，

∴HK=CK-CH=t．

在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，

即（3t）2+t2=（2 ）2，解得t= ．

设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，

即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r= t=．

∵EF为切线，

∴△OGF为直角三角形，

在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH= ，

∴FG=