Question

【题目】如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E．

（1）求证：∠ABC+∠ADC=90°；

（2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CGD的度数；

（3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD=∠BCN，则∠CIP、∠IPN、∠CNP之间的数量关系是______．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）225°；（3）3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．

【解析】

(1)如图1中，过E作EF∥a，利用平行线的性质即可解决问题；

(2)如图2中，作FM∥a，GN∥b，设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，可得x+y=45°，证明∠AFB=180°-（2y+x），∠CGD=180°-（2x+y），推出∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y）即可解决问题；

(3)分两种情形：①当点N在∠DCB内部时，②当点N′在直线CD的下方时，分别画出图形求解即可．

(1)证明：如图1中，过E作EF∥a．

∵a∥b，

∴a∥b∥EF，

∵AD⊥BC，

∴∠BED=90°，

∵EF∥a，

∴∠ABE=∠BEF，

∵EF∥b，

∴∠ADC=∠DEF，

∴∠ABC+∠ADC=∠BED=90°．

(2)解：如图2中，作FM∥a，GN∥b，

设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，

由（1）知：2x+2y=90°，x+y=45°，

∵FM∥a∥b，

∴∠BFD=2y+x，

∴∠AFB=180°-（2y+x），

同理：∠CGD=180°-（2x+y），

∴∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y），

=360°-3×45°=225°．

(3)解：如图，设PN交CD于E．

当点N在∠DCB内部时，∵∠CIP=∠PBC+∠IPB，

∴∠CIP+∠IPN=∠PBC+∠BPN+2∠IPE，

∵PN平分∠EPB，

∴∠EPB=∠EPI，

∵AB∥CD，

∴∠NPE=∠CEN，∠ABC=∠BCE，

∵∠NCE=∠BCN，

∴∠CIP+∠IPN=3∠PEC+3∠NCE=3（∠NCE+∠NEC）=3∠CNP．

当点N′在直线CD的下方时，同理可知：∠CIP+∠CNP=3∠IPN，

综上所述：3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．