Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．

（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．

【解析】

（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．
（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts △BPD与△CQP全等，则可知PB=3t cm，PC=（8-3t）cm，CQ=xt cm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时两三角形全等，求x的解即可．

解：（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm， CQ＝3cm，

∵△ABC中，AB＝AC，

∴在△BPD和△CQP中，

，

∴△BPD≌△CQP（SAS）．

（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB＝3t cm，PC＝（8-3t）cm，CQ＝xt cm，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：

①当BD＝PC，BP＝CQ时，②当BD＝CQ，BP＝PC时，两三角形全等；

①当BD＝PC且BP＝CQ时，

8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，

∵x≠3，

∴舍去此情况；

②BD＝CQ，BP＝PC时，

5＝xt且3t＝8﹣3t，

解得：x＝；

故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．