Question

【题目】如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E，F分别是AC，AB边上点，连接EF，将纸片ACB的一角沿EF折叠．
（1）如图①，若折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3S△AEF ， 则AE=；

（2）如图②，若折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．求AE的长；

（3）如图③，若折叠后点A落在BC延长线上的点N处，且使NF⊥AB．求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）解：设AE=x，则CE=4﹣x．

由折叠可知：AE=EM=x，AF=MF，∠AFE=∠MFE，

∵MF∥AC，

∴∠AEF=∠MFE．

∴∠AEF=∠AFE．

∴AE=AF．

∴AE=EM=MF=AF，

∴四边形AEMF为菱形．

∴EM∥AB．∴△CME∽△CBA．

∴ = ，即 = ，解得x= ，即AE=

（3）解：设AE=y，则CE=4﹣y．

由折叠可知：AE=EN=y，AF=NF，

∵NF⊥AB，

∴∠NFB=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠NFB=∠ACB．

且∠NBF=∠ABC，

∴△NBF∽ABC．

∴ = = ．即BF= NF= AF．由BF+AF=AB=5，

解得：BF= ，NF= ，

∴BN= = ，

∴CN=BN﹣BC= ﹣3= ．

在Rt△CEN中，由勾股定理得：CN2+CE2=EN2，

∴（ ）2+（4﹣y）2=y2，

解得：y= ，

即AE=

【解析】解：（1）∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，

∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，

∴S△AEF≌S△DEF，

∵S四边形ECBF=3S△EDF，

∴S△ABC=4S△AEF，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB= =5，

∵∠EAF=∠BAC，

∴△AEF∽△ABC，

∴ =（ ）2，即（ ）2= ，

∴AE= ；

所以答案是： ；

【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对翻折变换（折叠问题）的理解，了解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．