Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与边AB，BC分别交于点D，E．过E的直线与⊙O相切，与AC的延长线交于点G，与AB交于点F．

（1）求证：△BDE为等腰三角形；
（2）求证：GF⊥AB；
（3）若⊙O半径为3，DF=1，求CG的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ACED是⊙O的内接四边形，

∴∠ACB+∠ADE=180°，

∵∠BDE+∠ADE=180°，

∴∠BDE=∠ACB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB．

∴∠B=∠BDE，

∴△BDE为等腰三角形

（2）证明：连结OE，

∵直线FG与⊙O相切，

∴∠OEG=90°，

∵OC=OE，

∴∠OEC=∠ACB，

∵∠B=∠ACB，

∴∠B=∠OEC，

∴OE∥AB，

∴∠AFG=∠OEG=90°，

即GF⊥AB

（3）解：设CG=x．

∵△BDE为等腰三角形，GF⊥AB，

∴BF=DF=1，AF=AB﹣BF=AC﹣BF=5，

∵OE∥AB，

∴△GOE∽△GAF，

∴ = ，

∴ = ，

解得x= ，

即CG= ．

【解析】（1）由四边形ACED是⊙O的内接四边形，得到∠ACB+∠ADE=180°，由于∠BDE+∠ADE=180°，得到∠BDE=∠ACB，即可得到结论；
（2）连结OE，根据切线的性质得到∠OEG=90°，根据等腰三角形的性质得到∠OEC=∠ACB，根据平行线的性质即可得到结论
（3）设CG=x．根据等腰三角形的性质得到BF=DF=1，AF=AB-BF=AC-BF=5，由相似三角形的判定和性质即可得到结论．

【考点精析】通过灵活运用等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；把圆分成n(n≥3):1、依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2、经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形即可以解答此题．