Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线l：yx与直线l：y=kx+b相交于点A（a，3），直线交l交y轴于点B（0，﹣5）．

（1）求直线l的解析式；

（2）将△OAB沿直线l翻折得到△CAB（其中点O的对应点为点C），求证：AC∥OB；

（3）在直线BC下方以BC为边作等腰直角三角形BCP，直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）直线l的解析式为y=2x﹣5；（2）证明见解析；（3）P1（0，﹣9），P2（7，﹣6），P3（，）．

【解析】

（1）解方程得到A（4，3），待定系数法即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到OA=5，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，根据折叠的性质得到∠OAB=∠CAB，于是得到结论；
（3）如图，过C作CM⊥OB于M，求得CM=OD=4，得到C（4，-2），过P1作P1N⊥y轴于N，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．

（1）∵直线l：yx与直线l：y=kx+b相交于点A（a，3），∴A（4，3）．

∵直线交l交y轴于点B（0，﹣5），∴y=kx﹣5，

把A（4，3）代入得：3=4k﹣5，

∴k=2，

∴直线l的解析式为y=2x﹣5；

（2）∵OA5，

∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．

∵将△OAB沿直线l翻折得到△CAB，

∴∠OAB=∠CAB，∴∠OBA=∠CAB，

∴AC∥OB；

（3）如图，过C作CM⊥OB于M，

则CM=OD=4．

∵BC=OB=5，∴BM=3，

∴OB=2，∴C（4，﹣2），

过P1作P1N⊥y轴于N．

∵△BCP是等腰直角三角形，

∴∠CBP1=90°，∴∠MCB=∠NBP1．

∵BC=BP1，

∴△BCM≌△P1BN（AAS），

∴BN=CM=4，∴P1（0，﹣9）；

同理可得：P2（7，﹣6），P3（，）．