Question

【题目】如图，在△ABC中，已知AB=5，BC=8，AC=7，动点P、Q分别在边AB、AC上，使△APQ的外接圆与BC相切，则线段PQ的最小值等于_______________．

Answer 1

【答案】

【解析】如图，设点O是△APQ的外接圆的圆心，连接OP，OQ，作OH⊥PQ于点H，过点A作AD⊥BC于点D，

∴PH=QH=PQ，
∵OP=OQ，
∴∠POH=∠POQ，
∵∠POQ=2∠BAC，
∴∠POH=∠BAC，
在Rt△POH中，PH=OPsin∠POH=OAsin∠BAC，
∴PQ=2OAsin∠BAC，
即当OA最小时，PQ最小，
∵当AD是直径时，即OA=AD时，PQ最小，
设BD=x，则CD=8-x，
∵在Rt△ABD中，AD2=AB2-AD2，
在Rt△ACD中，AD2=AC2-CD2，
∴25-x2=49-（8-x）2，
解得：x= ，
∴AD== ，
∴OA=，
设AC边上的高为h，
则ACh=BCAD，
∴h= ，
∴sin∠BAC==，
∴PQ=2OAsin∠BAC=2××= ．
故答案为：．