Question

【题目】如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，使点D恰好落在BC边上的F点处．已知折痕，且，那么该矩形的周长为______cm．

Answer 1

【答案】72

【解析】

根据矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，再根据翻折变换的性质可得∠AFE=∠D=90°，AD=AF，然后根据同角的余角相等求出∠BAF=∠EFC，然后根据，设CE=3k，CF=4k，推出EF=DE=5k，AB=CD=8k，利用相似三角形的性质求出BF，再在Rt△ADE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，

∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，

∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF，

∵∠EFC+∠AFB=180°-90°=90°，

∠BAF+∠AFB=90°，

∴∠BAF=∠EFC，

∵，

∴设CE=3k，CF=4k，

∴，

∵∠BAF=∠EFC，且∠B=∠C=90°

∴△ABF∽△FCE，

∴，即，

∴BF=6k，

∴BC=BF+CF=10k=AD，

∵AE2=AD2+DE2，

∴500=100k2+25k2，

∴k=2

∴AB=CD =16cm，BC=AD=20cm，

∴四边形ABCD的周长=72cm

故答案为：72.