Question

【题目】综合与探究

问题情境：

（1）如图1，两块等腰直角三角板△ABC和△ECD如图所示摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，点F，H，G分别是线段DE，AE，BD的中点，A，C，D和B，C，E分别共线，则FH和FG的数量关系是　 　，位置关系是　 　．

合作探究：

（2）如图2，若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转至A，C，E在一条直线上，其余条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．

（3）如图3，若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转一个锐角，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）FG=FH，FG⊥FH；（2）（1）中结论成立，证明见解析；

（3）（1）中的结论成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．理由见解析.

【解析】试题分析：（1）证BE=AD，根据三角形的中位线推出FH=AD,FH∥AD,FG=BE,FG∥BE， 即可推出答案；
（2）证△ACD≌△BCE,推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；
（3）连接AD，BE，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案．

试题解析：(1)∵CE=CD,AC=BC,

∴BE=AD，

∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，

∴FH=AD,FH∥AD,FG=BE,FG∥BE，

∴FH=FG，

∵AD⊥BE，

∴FH⊥FG，

故答案为：相等，垂直。

(2)答：成立，

证明：∵CE=CD, AC=BC，

∴△ACD≌△BCE,

∴AD=BE，

由(1)知：FH=AD,FH∥AD,FG=BE,FG∥BE，

∴FH=FG，FH⊥FG，

∴(1)中的猜想还成立.

(3)答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG.

连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，

同(1)可证

∴FH=AD,FH∥AD,FG=BE,FG∥BE，

∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，

∴CE=CD,AC=BC,

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，

∵ ∠CXA=∠DXB，

∴

∴ 即AD⊥BE，

∵FH∥AD,FG∥BE，

∴FH⊥FG，

即FH=FG，FH⊥FG，

结论是FH=FG，FH⊥FG