Question

【题目】已知：△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠B=90°，AB=BC=1．

（1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来．

（2）若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为，则=___________；在余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图3），得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和记为，则=___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形的面积的和记为；按照同样的方法继续操作下去……，第次裁剪得到_________个新的正方形，它们的面积的和=______________．

Answer 1

【答案】（1）画图见解析；（2）（2），，，．

【解析】（1）利用斜边长的，向斜边作垂线得出正方形即可；

（2）根据题意，可求得S1，S2，S3，同理可得规律：Sn即是第n次剪取后面积和，根据此规律求解即可答案．

（1）如图所示；

（2）∵四边形DBFE是正方形，

∴DE＝EF＝BF＝DB，∠EFC＝∠ADE＝90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A＝∠C＝45°，

∴AD＝DE＝EF＝CF＝BF＝BD，

∵AB＝BC＝1，

∴DE＝EF＝，

∴S正方形DBFE＝S1＝×＝；

同理：S2即是第二次剪取后的面积和，

Sn即是第n次剪取后的面积和，

∴第一次剪取后的面积和为：S1＝＝，

第二次剪取后的面积和为：S2＝××2＝＝，

第三次剪取后剩余三角形面积和为：S3＝××4＝＝，

…

第n次剪取后面积和为：Sn＝××2n1＝．

故答案为：，，2n1，．