Question

【题目】已知二次函数和一次函数．

（1）当t=0时，试判断二次函数的图象与x轴是否有公共点，如果有，请写出公共点的坐标；

（2）若二次函数的图象与x轴的两个不同公共点，且这两个公共点间的距离为8，求t的值；

（3）求证：不论实数t取何值，总存在实数x，使≥．

Answer 1

【答案】(1)有，（3，0）；(2)±4；(3)≥．

【解析】

试题分析：（1）求出△的值，当△＞0，抛物线与x轴有两个交点，当△=0时，抛物线与x轴有唯一的公共点，当△＜0时，抛物线与x轴没有公共点．

（2）由对称轴为x=3，又AB=8，根据对称性可知A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（7，0），利用待定系数法即可解决问题．

（3）由-=﹣，可知化简后是非负数，即可证明．

试题解析：（1）当t=0时，，

∵△=0，所以二次函数的图象与x轴有唯一公共点．

令=0，有=0，解得=3，所以这个公共点的坐标为（3，0）；

（2）抛物线=的对称轴为x=3，

其图象与x轴的交点分别为A、B，又AB=8，由对称性可知A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（7，0），

把x=﹣1，y=0代入中，可得，=16，所以t=±4；

（3）-=﹣===≥0，

所以-≥0，

所以不论实数t取何值，总存在实数x，使≥．