Question

【题目】点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点

（1）求证：DM=DN

（2）连接MN,当∠MPN=______时，△DMN是等边三角形；

（3）探索∠MPN与∠MDN的数量关系，并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）150°；（3）∠MPN=180°-∠MDN，证明见解析.

【解析】

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到MD=OD，ND=OD，于是可证得；

（2）当∠MPN=150°时，由（1）先证明∠MDP=2∠MOD，∠NDP=2∠NOD，进而得到∠MDN=2∠MON=60°即可说明此时△DMN是等边三角形．

（3）由（2）可知∠MDN=2∠MON，∠MPN+∠MON =180°，于是可得∠MPN=180°-∠MDN.

如图：

（1）∵PM⊥OA，D是OP的中点，

∴MD=OD，

∵PN⊥OB，D是OP的中点，

∴ND=OD

∴ MD=ND

（2）当∠MPN=150°时，△DMN是等边三角形.理由如下：

∵∠MPN=150°，PM⊥OA，PN⊥OB，

∴∠MON=30°，

由（1）可知MD=OD，ND=OD，

∴∠MDP=2∠MOD，∠NDP=2∠NOD

∴∠MDN=2∠MON=60°，

∵MD=ND.

∴△DMN是等边三角形.

（3） 由（2）可知∠MDN=2∠MON，∠MPN+∠MON =180°

∴∠MPN=180°-∠MON=180°-∠MDN

∴∠MPN=180°-∠MDN.