Question

【题目】长方形ABCD中，AB=6，AD=8，点E为边AD上一点，将△ABE沿BE折叠后得到△BEF．

（1）如图1，若点E为AD的中点，延长BF交边CD于点G．

①求证：DG=FG．

②求FG的长度．

（2）如图2，若点E为边AD的一动点，连接FD，△DEF能否为直角三角形？若能，求出AE的值．若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②；（2）3或6

【解析】

(1) ①连接EG，证明Rt△EGD≌Rt△EGF，即可解决问题；

②设DG=GF=x则GC=6-x，在Rt△BCG中利用勾股定理求解；

（2）需要分类讨论：当∠EFD=90°时，B，F，D共线，设AE=EF=x；

当∠FED=90°时，AE=AB=6.

解：（1）①证明：如图1中，连接EG，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠EDG=90°，

∵EA=EF=ED，∠A=∠EFB=90°，

∴∠EFG=∠EDG=90°，

∵EG=EG，EF=ED，

∴Rt△EGD≌Rt△EGF（HL），

∴GD=GF．

②解：如图1中，设DG=GF=x则GC=6-x，

在Rt△BCG中，∵=，

∴，

∴x=，

∴GF=．

（2）解：存在．如图2中，当∠EFD=90°时，B，F，D共线，设AE=EF=x，

在Rt△ABD中，BD=10，

∵BF=BA=6，

∴DF=10-6=4

在Rt△EFD中，∵，

∴，

∴x=3，

∴AE=3．

如图3中，当∠FED=90°时，AE=AB=6．

综上所述，满足条件的AE的值为3或6．