Question

【题目】在平面直角坐标系中，点P是第一象限角平分线上的一点，OP=,直角三角板的直角顶点与点P重合，把直角三角板绕点P转动，另两条直角边所在直线与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点

(1)求点P的坐标

(2)若点A的坐标为(0，m)，点B的坐标为(n，0)，试判断m、n有什么数量关系，并说明理由

(3)连接AB，△ABO的面积是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）（1,1）；（2）m+n=2；（3）

【解析】

（1）过P点向坐标轴作垂线PE垂直于x轴PF垂直于y轴，然后利用勾股定理；

（2）证明△PBE≌△PFA,然后直接得出m+n的值；

（3）由（2）可知四边形AOBP的面积是定值，然后根据四边形AOBP的面积=△ABO的面积+△ABP的面积可知当△ABP的面积最小时，△ABO的面积能取到最大值.

解：（1）过P点作过P作PE⊥x轴，PF⊥y轴，

∵P是第一象限角平分线上的一点

∴PE=PF ，∠POE=45°，

∴OE=PE

在Rt△PEO中，

则2=2

∴PE=1

∴P点的坐标为（1,1）

（2）由（1）可知PE⊥x轴，PF⊥y轴

∴PE⊥PF，

∴∠APE+∠APF=90°，

又∵∠APE+∠BPE=90°，

∴∠APF=∠BPE，

∵PE=PF，∠PFA=∠PEB=90°，

∴△APF≌△BPE，

∴AF=BF

则AO+OB=AO+OE+EB=AO+OE+FA=2OE=2

∴m+n=2

（3）△ABO的面积存在最大值为.理由如下：

由（2）可知△APF≌△BPE，

∴四边形AOBP的面积=四边形OEPF的面积=1，是定值，

又∵四边形AOBP的面积=△ABO的面积+△ABP的面积，

由（2）可知△ABP是等腰直角三角形，面积=，

∴当AP取最小值为1时，△ABP面积有最小值为，此时△ABO的面积为最大等于.