Question

【题目】如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G．下列结论：①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=BF；④AE=BG．其中正确的是

A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=AC，又因为BF=AC所以CE=AC=BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE<CG．即AE<BG．

∵CD⊥AB,∠ABC=45°，

∴△BCD是等腰直角三角形.

∴BD=CD.故①正确；

在Rt△DFB和Rt△DAC中，

∵∠DBF=90°∠BFD,∠DCA=90°∠EFC，且∠BFD=∠EFC，

∴∠DBF=∠DCA.

又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，

∴△DFB≌△DAC.

∴BF=AC；DF=AD.

∵CD=CF+DF，

∴AD+CF=BD；故②正确；

在Rt△BEA和Rt△BEC中.

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE.

又∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°，

∴Rt△BEA≌Rt△BEC.

∴CE=AE=AC.

又由(1)，知BF=AC，

∴CE=AC=BF；故③正确；

连接CG.

∵△BCD是等腰直角三角形，

∴BD=CD.

又DH⊥BC，

∴DH垂直平分BC.∴BG=CG.

在Rt△CEG中，

∵CG是斜边，CE是直角边，

∴CE<CG.

∵CE=AE，

∴AE<BG.故④错误.

故选C.