Question

【题目】在平面直角坐标系中，给出如下定义:已知两个函数，如果对于任意的自变量,这两个函数对应的函数值记为, 恒有点和点关于点成中心对称(此三个点可以重合)，由于对称中心都在直线上，所以称这两个函数为关于直线的“相依函数”。例如: 和为关于直线的 “相依函数”.

（1）已知点是直线上一点，请求出点关于点成中心对称的点的坐标:

（2）若直线和它关于直线的“相依函数”的图象与轴围成的三角形的面积为，求的值;

（3）若二次函数和为关于直线的“相依函数”.

①请求出的值;

②已知点、点连接直接写出和两条抛物线与线段有目只有两个交占时对应的的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（1，-4）；（2）；（3）①-1，2 ； ②或

【解析】

（1）先求出点M的坐标，根据点M与点N关于成中心对称，即可求出点N的坐标；

（2）设点和点分别是直线与它的“相依函数”的图象上的任意一点，根据相依函数的定义，可得：直线关于直线y=x的相依函数是：，结合“直线和它关于直线的“相依函数”的图象与轴围成的三角形的面积为”，列出关于n的方程，即可求解；

（3）①由相依函数的定义，得：，化简整理后，即可求解；②分四种情况画出二次函数，的图象，即可得到答案．

（1）∵点是直线上一点，

∴，即：，

∵点N与点关于成中心对称，

∴；

（2）设点和点分别是直线与它的“相依函数”的图象上的任意一点，

∴，

，

∴直线关于直线y=x的相依函数是：，

联立，解得：，

∴直线与直线的交点的横坐标为，

∵直线与直线与y轴的交点坐标分别是：(0，n)，(0，-n)，

由题意得：，解得：；

（3）①由题意得：，

∴，对于任意的x都成立，

∴，解得：；

②由第①小题，可知：，，

当时，如图1，

当时，如图2，

当时，如图3，

当时，如图4，

综上可知:或时，抛物线与线段有且只有两个交点．