Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，且OE⊥AC于点E，过点C作⊙O的切线，交OE的延长线于点D，交AB的延长线于点F，连接AD
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠F= ，⊙O半径为1，求线段AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OC．

∵OE⊥AC，

∴AE=CE，

∴DC=DA，

在△OCD与△OAD中， ，

∴△OCD≌△OAD，

∵FD切⊙O于D，

∴∠OCD=∠OAD=90°，

∴AD是⊙O的切线

（2）解：设AD=x，

∵tan∠F= ，OC=1，

∴在Rt△OCF中， = ，

∴FC=2，

在Rt△ADF中，同理可得，FO=2x﹣1，

∴在Rt△OCF中，

FO2=FC2+CO2，

∴（2x﹣1）2=5，解得x1= ，x2= （舍去），

即 AD= ．

【解析】（1）连接OC．根据垂径定理得到AE=CE，根据全等三角形和切线的性质得到∠OCD=∠OAD=90°，于是得到结论；（2）设AD=x，根据三角函数的定义得到FC=2，在Rt△ADF中，同理可得，FO=2x﹣1，根据勾股定理即可得到结论．
【考点精析】利用垂径定理和解直角三角形对题目进行判断即可得到答案，需要熟知垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．