Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，点D为边BC上一点，点E为边AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线与点F，连接BF．
（1）求证：四边形ADBF是平行四边形；
（2）若∠ADF=∠BDF，DF=2CD，求∠ABC的度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠BDE，

在△AEF与△BED中， ，

∴△AEF≌△BED，

∴AF=BD，

∵AF∥BD，

∴四边形ADBF是平行四边形

（2）解：∵∠ADF=∠BDF，

∴∠ADF=∠AFD，

∴AD=AF，

∴ADBF是菱形，

∴DF=2DE，AE⊥DF，

∵DF=2CD，

∵∠C=90°，

∴DC=DE，

在Rt△ACD与Rt△AED中， ，

∴Rt△ACD≌Rt△AED，

∴AC=AE= AB，

∴∠ABC=30°

【解析】（1）根据平行线的性质得到∠AFE=∠BDE，根据全等三角形的性质得到AF=BD，于是得到结论；（2）根据已知条件得到ADBF是菱形，根据菱形的性质得到AB⊥DF，根据全等三角形的性质得到AC=AE= AB，于是得到结论．
【考点精析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线和平行四边形的判定与性质的相关知识点，需要掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能正确解答此题．