Question

【题目】如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．

（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；

（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．

①试求△PAD的面积的最大值；

②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①函数的最小值为0；②函数图象的对称轴为直线x=-3；新函数的解析式为y= ；（2）△PAD的面积的最大值为；②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由见解析.

【解析】（1）根据一次函数的性质，结合函数图象可写出新函数的两条性质；求新函数的解析式，可分两种情况进行讨论：①x≥-3时，显然y=x+3；②当x＜-3时，利用待定系数法求解；

（2）①先把点C（1，a）代入y=x+3，求出C（1，4），再利用待定系数法求出反比例函数解析式为y=．由点D是线段AC上一动点（不包括端点），可设点D的坐标为（m，m+3），且-3＜m＜1，那么P（，m+3），PD=-m，再根据三角形的面积公式得出△PAD的面积为S=（-m）×（m+3）=-m2-m+2=-（m+）2+，然后利用二次函数的性质即可求解；

②先利用中点坐标公式求出AC的中点D的坐标，再计算DP，DE的长度，如果DP=DE，那么根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形PAEC为平行四边形；如果DP≠DE，那么不是平行四边形．

试题解析：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0；

②函数图象的对称轴为直线x=-3；

由题意得A点坐标为（-3，0）．分两种情况：

①x≥-3时，显然y=x+3；

②当x＜-3时，设其解析式为y=kx+b．

在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，

则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1）．

把（-4，1），（-3，0）代入y=kx+b，

得

解得

∴y=-x-3．

综上所述，新函数的解析式为y= ；

（2）如图2，

①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，

∴a=1+3=4．

∵点C（1，4）在双曲线y=上，

∴k=1×4=4，y=．

∵点D是线段AC上一动点（不包括端点），

∴可设点D的坐标为（m，m+3），且-3＜m＜1．

∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，

∴P（，m+3），

∴PD=-m，

∴△PAD的面积为

S=（-m）×（m+3）=-m2-m+2=-（m+）2+，

∵a=-＜0，

∴当m=-时，S有最大值，为，

又∵-3＜-＜1，

∴△PAD的面积的最大值为；

②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由如下：

当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时P点的坐标为（2，2），E点的坐标为（-5，2），

∵DP=3，DE=4，

∴EP与AC不能互相平分，

∴四边形PAEC不能为平行四边形．