Question

【题目】如图，以AB为直径作半圆O，点C为半圆上与A，B不重合的一动点，过点C作CD⊥AB于点D，点E与点D关于BC对称，BE与半圆交于点F，连CE．

（1）判断CE与半圆O的位置关系，并给予证明．

（2）点C在运动时，四边形OCFB的形状可变为菱形吗？若可以，猜想此时∠AOC的大小，并证明你的结论；若不可以，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）CE是圆O的切线；（2）可以，此时∠AOC=60°．

【解析】

试题分析：（1）CE是圆O的切线．欲证明CE是圆O的切线，只需推知∠OCE=90°即可；

（2）可以，此时∠AOC=60°．根据已知条件可以推知△COF与△BOF为等边三角形，则四边形OCFB的四条边相等：OC=CF=FB=OB，故四边形OCFB是菱形．

试题解析：（1）解：CE是圆O的切线．理由如下：

连接OC，则OC=OB，∴∠OCB=∠OBC．

∵点E与点D关于BC对称，∴∠BCE=∠BCD．

又CD⊥AB，∴∠BCD+∠OBC=∠BCE+∠OCB=90°，即∠OCE=90°，又∵点C在半圆O上，∴CE是圆O的切线．

（2）解：可以，此时∠AOC=60°．理由如下：

连接OF．∵∠AOC=60°，∴∠OBC=∠OCB=30°．

∵点E与点D关于BC对称，∴∠CBF=∠OBC=30°，∴∠COF=60°，∴∠OBF=60°，∵OC=OF=OB，∴△COF与△BOF为等边三角形，∴OC=CF=FB=OB，∴四边形OCFB是菱形．