Question

【题目】如图，已知点A是双曲线y= 在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y= （k＜0）上运动，则k的值是 ．

Answer 1

【答案】﹣6
【解析】解：∵双曲线y= 关于原点对称， ∴点A与点B关于原点对称．
∴OA=OB．
连接OC，如图所示．
∵△ABC是等边三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°．
∴tan∠OAC= = ．
∴OC= OA．
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，
过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF．
∴△AEO∽△OFC．
∴ = = ．
∵OC= OA，
∴OF= AE，FC= EO．
设点A坐标为（a，b），
∵点A在第一象限，
∴AE=a，OE=b．
∴OF= AE= a，FC= EO= b．
∵点A在双曲线y= 上，
∴ab=2．
∴FCOF= b a=3ab=6
设点C坐标为（x，y），
∵点C在第四象限，
∴FC=x，OF=﹣y．
∴FCOF=x（﹣y）=﹣xy
=6．
∴xy=﹣6．
∵点C在双曲线y= 上，
∴k=xy=﹣6．
故答案为：﹣6．

连接OC，易证AO⊥OC，OC= OA．由∠AOC=90°想到构造K型相似，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，可证△AEO∽△OFC．从而得到OF= AE，FC= EO..设点A坐标为（a，b）则ab=2，可得FCOF=6．设点C坐标为（x，y），从而有FCOF=﹣xy=﹣6，即k=xy=﹣6．