Question

【题目】如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD，CD．

（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：BD=AC，BD⊥AC，

理由：延长BD交AC于F．

∵AE⊥BC，

∴∠AEB=∠AEC=90°，

在△BED和△AEC中

∴△BED≌△AEC，

∴BD=AC，∠DBE=∠CAE，

∵∠BED=90°，

∴∠EBD+∠BDE=90°，

∵∠BDE=∠ADF，

∴∠ADF+∠CAE=90°，

∴∠AFD=180°﹣90°=90°，

∴BD⊥AC

（2）

解：

不发生变化，

理由是：∵∠BEA=∠DEC=90°，

∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，

∴∠BED=∠AEC，

在△BED和△AEC中

∴△BED≌△AEC，

∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，

∵∠DEC=90°，

∴∠ACE+∠EOC=90°，

∵∠EOC=∠DOF，

∴∠BDE+∠DOF=90°，

∴∠DFO=180°﹣90°=90°，

∴BD⊥AC

（3）

解：能．

理由：∵△ABE和△DEC是等边三角形，

∴AE=BE，DE=EC，∠EDC=∠DCE=60°，∠BEA=∠DEC=60°，

∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，

∴∠BED=∠AEC，

在△BED和△AEC中中

∴△BED≌△AEC，

∴∠BDE=∠ACE，

∴∠DFC=180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）

=180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）

=180°﹣（60°+60°）

=60°，

即BD与AC所成的角的度数为60°或120°

【解析】（1）延长BD交AC于F，求出∠AEB=∠AEC=90°，证出△BED≌△AEC，推出BD=AC，∠DBE=∠CAE，根据∠EBD+∠BDE=90°推出∠ADF+∠CAE=90°，求出∠AFD=90°即可；（2）求出∠BED=∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出BD=AC，∠BDE=∠ACE，根据∠ACE+∠EOC=90°求出∠BDE+∠DOF=90°，求出∠DFO=90°即可；（3）求出∠BED=∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出∠BDE=∠ACE，根据三角形内角和定理求出∠DFC即可．
【考点精析】掌握三角形的内角和外角和全等三角形的性质是解答本题的根本，需要知道三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等．