Question

【题目】如图，正方形ABCD中，P为AB边上任意一点，AE⊥DP于E，点F在DP的延长线上，且EF=DE，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC．

（1）求证：△AEG是等腰直角三角形；

（2）求证：AG+CG=DG．

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】试题分析：（1）根据线段垂直平分线的定义得到AF=AD，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；
（2）作CH⊥DP，交DP于H点，证明△ADE≌△DCH（AAS），得到CH=DE，DH=AE=EG，证明CG= GH，AG=DH，计算即可．

试题解析：

（1）证明：∵DE=EF，AE⊥DP，

∴AF=AD，

∴∠AFD=∠ADF，

∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°，

∴∠AFD=∠PAE，

∵AG平分∠BAF，

∴∠FAG=∠GAP．

∵∠AFD+∠FAE=90°，

∴∠AFD+∠PAE+∠FAP=90°

∴2∠GAP+2∠PAE=90°，

即∠GAE=45°，

∴△AGE为等腰直角三角形；

（2）证明：作CH⊥DP，交DP于H点，

∴∠DHC=90°．

∵AE⊥DP，

∴∠AED=90°，

∴∠AED=∠DHC．

∵∠ADE+∠CDH=90°，∠CDH+∠DCH=90°，

∴∠ADE=∠DCH．

∵在△ADE和△DCH中，

，

∴△ADE≌△DCH（AAS），

∴CH=DE，DH=AE=EG．

∴EH+EG=EH+HD，

即GH=ED，

∴GH=CH．

∴CG=GH．

∵AG=EG，

∴AG=DH，

∴CG+AG=GH+HD，

∴CG+AG=（GH+HD），

即CG+AG=DG．