Question

【题目】如图，∠MON=90°，点A、B分别在边ON和OM上（∠OAB≠45°）.

（1）根据要求，利用尺规作图，补全图形：

第①步：作∠MON的平分线OC，作线段AB的垂直平分线l，OC和l交于点P，第②步：连接PA、PB；

（2）结合补完整的图形，判断PA和PB有什么数量关系和位置关系？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）AP=BP，AP⊥BP，理由见详解.

【解析】

（1）利用尺规作图的方法，作出∠MON的平分线OC，作线段AB的垂直平分线l，OC和l交于点P，连接PA、PB；

（2）由垂直平分线定理，得到AP=BP；作PD⊥ON与D，PE⊥OM与E，由点P在OC上，则PD=PE,即可证明Rt△ADP≌Rt△BEP，则∠APD=∠BPE，由∠DPE=90°，得到∠APB=90°，然后得到AP⊥BP.

解：（1）如图所示；

（2）AP=BP，AP⊥BP；

理由如下：

∵直线l垂直平分AB，点P在l上，

∴AP=BP；

如上图，作PD⊥ON与D，PE⊥OM与E，

∵点P在∠MON的平分线OC上，

∴PD=PE，

∴Rt△ADP≌Rt△BEP（HL），

∴∠APD=∠BPE；

∵∠MON=90°，PD⊥ON，PE⊥OM，PD=PE，

∴四边形OEPD是正方形；

∴∠DPE=90°，

∴∠APD+∠DPB=∠DPB+∠BPE=∠DPE=90°，

∴∠APB=90°，

∴AP⊥BP.