Question

【题目】如图，抛物线分别交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，D为线段AB上一点，连接CD，作点B关于CD的对称点B′,连接AB′，B′D .

（1）求点A，B的坐标.

（2）当点B′落坐标轴上时，求点D的坐标.

（3）在点D的运动过程中，△AB′D 的内角能否等于45°，若能，求此时点B′的坐标；若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）A(-2,0) , B(3,0) （2）B’在以C为圆心，CB为半径的圆C上；（3）① ②（）③（ ）

【解析】分析：（1）令y=0，可求得x的值，从而可确定A、B两点坐标；

（2）分两种情况进行讨论：①当B’点落在x轴上，②当B’点落在y轴上，利用对称性求解即可；

（3）如图，分三种情况进行求解.

详解（1）由y=0解得x1=-2，x2=3,

∴ A(-2,0) , B(3,0)

（2）B’在以C为圆心，CB为半径的圆C上；

①当B’点落在x轴上时，D(0,0)；

②当B’点落在y轴上时，如图1，CB’=CB=,

∵∠OB’D=45°

∴OD=OB’=-3

∴ D()

图1 图2 图3 图4

（3）①∠B’DA=45°时，如图1，OB’=-3，B’（0， -3）.

如图2，连接CB’，∠B’DA=∠CBD=45°，∴DB’∥BC，可得四边形DB’CB是菱形，B’（- -3）.

②∠B’AD=45°如图3，连接CB’，过点B’分别作坐标轴的垂线，垂足为E、F，设线段FB’的长为m，B’E=AE=2-m，可得CF=5-m，在直角三角形CFB’中，，解得，B’（，）.

③如图4，∠AB’D=45°，连接CB’，过点B’作Y轴的垂线，垂足为点F,由轴对称性质可得，∠CB’D=∠CBD=45°，所以当∠AB’D=45°时，点A在线段CB’上，所以，设线段FB’的长为2m，FC=3m，，解得：， .