Question

【题目】如图，在△ABC中，AD⊥BC垂足为点D，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，垂足为点E．则以下4个结论：①AB=AC；②∠EBC= ；③AE=CE；④∠EBC= 中正确的有（ ）

A.①②
B.②③
C.①②③
D.①②③④

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵AD⊥BC垂足为点D，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，∴①正确；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠EBC+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
∴∠EBC= ∠BAC，∴②正确；
∵AE2=AB2﹣BE2 ， CE2=BC2﹣BE2 ， AB≠BC，
∴AE≠CE，∴③错误；
∵∠BAC≠∠ABC，∠EBC= ∠BAC，
∴∠EBC≠ ∠ABC，∴④错误；
∴①②都正确；
故答案为：A．
由题知AD垂直平分BC，根据垂直平分线上的点到角两边的距离相等得出AB=AC ；根据等腰三角形的三线合一得出∠BAD=∠CAD= ∠BAC，然后又根据同角的余角相等得出∠EBC=∠DAC，通过等量代换得出∠EBC= ∠BAC ；根据勾股定理得出AE2=AB2﹣BE2 ， CE2=BC2﹣BE2 ， 又AB≠BC，从而得出AE≠CE ；根据∠BAC≠∠ABC，∠EBC= ∠BAC，从而得出∠EBC≠ ∠ABC 。