Question

【题目】已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．

（1）求扇形OBC的面积（结果保留π）；

（2）求证：CD是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）S扇形OBC=；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由扇形的面积公式即可求出答案．

（2）易证∠FAC=∠ACO，从而可知AD∥OC，由于CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以CD是⊙O的切线．

（1）∵AB=4，

∴OB=2

∵∠COB=60°，

∴S扇形OBC=.

（2）∵AC平分∠FAB，

∴∠FAC=∠CAO，

∵AO=CO，

∴∠ACO=∠CAO

∴∠FAC=∠ACO

∴AD∥OC，

∵CD⊥AF，

∴CD⊥OC

∵C在圆上，

∴CD是⊙O的切线