Question

【题目】已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．

（1）请你添加一个适当的条件　 　，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；

（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin∠AGF=，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5．

【解析】（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；

（2）作出相应的图形，如图所示；

（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据sin∠AGF的值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．

（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：

证明：∵AD∥BC，AD=BC，

∴四边形ABCD为平行四边形；

故答案为：AD=BC；

（2）作出相应的图形，如图所示；

（3）∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠CBA=180°，

∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

∴∠AEB=90°，

∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，

∴∠AFB=90°，

∴∠FAG+∠FGA=90°，

∵AE平分∠DAB，

∴∠FAG=∠EAB，

∴∠AGF=∠ABE，

∴sin∠ABE=sin∠AGF=，

∵AE=4，

∴AB=5，

则圆O的半径为2.5．