Question

【题目】【探索新知】
已知平面上有n（n为大于或等于2的正整数）个点A1 ， A2 ， A3 ， …An ， 从第1个点A1开始沿直线滑动到另一个点，且同时满足以下三个条件：①每次滑动的距离都尽可能最大；②n次滑动将每个点全部到达一次；③滑动n次后必须回到第1个点A1 ， 我们称此滑动为“完美运动”，且称所有点为“完美运动”的滑动点，记完成n个点的“完美运动”的路程之和为Sn ．
（1）如图1，滑动点是边长为a的等边三角形三个顶点，此时S3=；

（2）如图2，滑动点是边长为a，对角线（线段A1A2、A2A4）长为b的正方形四个顶点，此时S4= ．
【深入研究】
现有n个点恰好在同一直线上，相邻两点距离都为1，

（3）如图3，当n=3时，直线上的点分别为A1、A2、A3 ．
为了完成“完美运动”，滑动的步骤给出如图4所示的两种方法：
方法1：A1→A3→A2→A1 ， 方法2：A1→A2→A3→A1 ．
①其中正确的方法为 ．
A．方法1 B．方法2 C．方法1和方法2
②完成此“完美运动”的S3= ．


（4）当n分别取4，5时，对应的S4= ， S5=
（5）若直线上有n个点，请用含n的代数式表示Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）3a
（2）2a+2b
（3）A；4
（4）8；12
（5）

解：n 为奇数时：Sn=n﹣1+n﹣2+…+1+ ﹣1= ；

n 为偶数时：Sn=n﹣1+n﹣2+…+1+ =

【解析】解：（1）如图1，∵滑动点是边长为a的等边三角形三个顶点，
∴S3=3a，
所以答案是：3a；（2）如图2，∵滑动点是边长为a，对角线长为b的正方形四个顶点，
∴S4=2a+2b，
所以答案是：2a+2b；（3）如图4，①∵方法2 是错的，不满足第①个条件，每一次距离要是最大的，
∴方法1正确，
故选A；②如图3，S3=2+1+1=4，
所以答案是：4；（4）根据条件：①每次滑动的距离都尽可能最大；②n次滑动将每个点全部到达一次；③滑动n次后必须回到第1个点A1 ， 可得：
S4=3+2+1+2=8，
S5=4+3+2+1+2=12，
所以答案是：8，12；