Question

【题目】在△ABC中，AB=13，BC=14．

（1）如图1，AD⊥BC于点D，且BD=5，则△ABC的面积为　 　；

（2）在（1）的条件下，如图2，点H是线段AC上任意一点，分别过点A，C作直线BH的垂线，垂足为E，F，设BH=x，AE=m，CF=n，请用含x的代数式表示m+n，并求m+n的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）84;（2）m+n的最大值为15，最小值为12．

【解析】

（1）先由勾股定理求得AD=12，然后利用三角形的面积公式求解即可；

（2）依据S△ABC=S△ABH+S△BHC可知BHAE+BHCF=84，然后将BH=x，AE=m，CF=n代入整理即可．

解：（1）在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，

∴AD===12．

∵BC=14，

∴==84．

故答案为：84．

（2）∵S△ABC=S△ABH+S△BHC，

∴．

∴xm+xn=168．

∴m+n=

∵AD=12，DC=14﹣5=9，

∴AC==15．

∵m+n与x成反比，

∴当BH⊥AC时，m+n有最大值．

∴（m+n）BH=ACBH．

∴m+n=AC=15．

∵m+n与x成反比，

∴当BH值最大时，m+n有最小值．

∴当点H与点C重合时m+n有最小值．

∴m+n=，

∴m+n=12．

∴m+n的最大值为15，最小值为12．