Question

【题目】已知抛物线y=a(x-2)2-9经过点P(6,7),与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,直线AP与y轴交于点D,抛物线对称轴与x轴交于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点E任作一条直线l(点B、C分别位于直线l的异侧),设点C到直线的距离为m,点B到直线l的距离为n,求m+n的最大值；

(3)y轴上是否存在点Q,使∠QPD=∠DEO,若存在,请求出点Q的坐标:若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1） y=x2-4x-5；（2）；（3）Q1（0,5），Q2（0，-11）.

【解析】分析：（1）把P点坐标代入y=a（x-2）2-9中求出a即可得到抛物线解析式；

（2）作BM⊥l于M，BN⊥l于N，BG⊥CM于G，如图1，利用四边形BGMN为矩形得到BN=MG，则m+n=CG，利用BG≤BC（当且仅当M点在BC上取等号）得到m+n的最大值为BC的长，然后求出B、C坐标后计算出BC即可；

（3）先利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=x+1，则D（0，1），PD=6，△AOD为等腰直角三角形，易得E（2，0），则tan∠DEO=，讨论：当点Q在点D的上方，作QG⊥AP于G，如图2，设QG=t，证明△QDG为等腰直角三角形得到DG=QG=t，QD=t，则利用∠QPD=∠DEO和正切定义得到，解方程求出t，从而可确定Q点坐标；当点Q在点D的下方，作QG⊥AP于G，如图3，设QG=t，利用同样方法得到，然后解方程求出t，从而得到Q点坐标．

详解：（1）∵抛物线y=a（x-2）2-9经过点P（6，7），

∴a（6-2）2-9=7，解得a=1，

∴抛物线解析式为y=（x-2）2-9，

即y=x2-4x-5；

（2）作BM⊥l于M，BN⊥l于N，BG⊥CM于G，如图1，

易得四边形BGMN为矩形，

∴BN=MG，

∴m+n=CM+BN=CM+MG=CG，

∵BG≤BC（当且仅当M点在BC上取等号）

∴m+n的最大值为BC的长，

当x=0时，y=x2-4x-5=-5，则C（0，-5），

当y=0时，x2-4x+5=0，解得x1=-1，x2=5，则A（-1，0），B（5，0）

∴BC=，

∴m+n的最大值为5；

（3）存在．

设直线AD的解析式为y=kx+b，

把A（-1，0），P（6，7）代入得，

解得 ，

∴直线AD的解析式为y=x+1，

当x=0，y=x+1=1，则D（0，1），

∴PD=，△AOD为等腰直角三角形，

∵抛物线的对称轴为直线x=2，

∴E（2，0），

∴tan∠DEO=，

当点Q在点D的上方，作QG⊥AP于G，如图2，

设QG=t，

∵∠QDG=∠ADO=45°，

∴△QDG为等腰直角三角形，

∴DG=QG=t，QD=QG=t，

∴PG=PD-DG=6-t，

∵∠QPD=∠DEO，

∴tan∠QPD=，

∴，解得t=2，

∴DQ=2×=4，

∴OQ=4+1=5，

∴Q点坐标为（0，5）；

当点Q在点D的下方，作QG⊥AP于G，如图3，

设QG=t，

∴△QDG为等腰直角三角形，

∴DG=QG=t，QD=QG=t，

∴PG=PD+DG=6+t，

∵∠QPD=∠DEO，

∴tan∠QPD=，

∴，解得t=6，

∴DQ=6×=12，

∴OQ=12-1=11

∴Q点坐标为（0，-11），

综上所述，Q点的坐标为（0，5）或（0，-11）．