Question

【题目】已知：∠MON=36°，OE平分∠MON，点A，B分别是射线OM，OE，上的动点（A，B不与点O重合），点D是线段OB上的动点，连接AD并延长交射线ON于点C，设∠OAC=x，

（1）如图1，若AB∥ON，则

①∠ABO的度数是______；

②当∠BAD=∠ABD时，x=______；

当∠BAD=∠BDA时，x=______；

（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ABD中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①18°；②126°；③63°；（2）当x=18、36、54时，△ADB中有两个相等的角．

【解析】

（1）运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠ABO的度数；根据∠ABO、∠BAD的度数以及△AOB的内角和，可得x的值；

（2）根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．

解：（1）如图1，①∵∠MON=36°，OE平分∠MON，

∴∠AOB=∠BON=18°，

∵AB∥ON，

∴∠ABO=18°；

②当∠BAD=∠ABD时，∠BAD=18°，

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，

∴∠OAC=180°-18°×3=126°；

③当∠BAD=∠BDA时，∵∠ABO=18°，

∴∠BAD=81°，∠AOB=18°，

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，

∴∠OAC=180°-18°-18°-81°=63°，

故答案为①18°；②126°；③63°；

（2）如图2，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角．

∵AB⊥OM，∠MON=36°，OE平分∠MON，

∴∠AOB=18°，∠ABO=72°，

若∠BAD=∠ABD=72°，则∠OAC=90°-72°=18°；

若∠BAD=∠BDA=（180°-72°）÷2=54°，则∠OAC=90°-54°=36°；

若∠ADB=∠ABD=72°，则∠BAD=36°，故∠OAC=90°-36°=54°；

综上所述，当x=18、36、54时，△ADB中有两个相等的角．