Question

【题目】已知：在中，是边上的中线，点是的中点；过点作，交的延长线于，连接.

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）当分别满足什么条件时，四边形是菱形；四边形是矩形，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）①当时，四边形是矩形；②当，四边形是菱形.

【解析】

（1）先证明，然后由全等三角形的性质，得到BD=CD=AF，即可证明结论成立；

（2）①根据矩形的判定定理即可得到结论；②根据菱形的判定定理即可得到结论．

（1）证明：

∵，∴，

在和中

∵

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴四边形为平行四边形；

（2）①当时，四边形是矩形；

由（1）可知，，，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴AB=DF，

∴AB=AC=DF，

∴平行四边形ADCF是矩形；

②当，四边形是菱形；

由①可知，四边形ABDF是平行四边形，

∴AB∥DF，

∵，即AB⊥AC，

∴DF⊥AC，

∴平行四边形ADCF是菱形.