Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A（1， ），点B（2，0），P为线段OB上一点，过点P作PQ∥OA，交AB于点Q，连接AP，则△APQ面积最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：如图，作AF⊥OB于F，QE⊥OB于E．设OP=x， ，
∵点A（1， ），点B（2，0），
∴点F是OB的中点，
∴OF=2÷2=1，AF= ，
∵OF=FB，AF⊥OB，
∴AO=AB，
∴OA=AB= =2，
∵OA=AB=OB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BOA=∠BAO=∠ABO=60°，
∵PQ∥OA，
∴∠QPB=∠AOB=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP=BQ=PQ=2﹣x，
∴S△BPQ= （2﹣x）2 ，
∴S△APQ=S△AOB﹣S△AOP﹣S△BPQ
= ×22﹣ x ﹣ （2﹣x）2
= ﹣ x﹣ ×（4﹣2x+x2）
=﹣ （x﹣1）2+ ，
≤
∴当x=1时，△APQ面积最大值为 ．
故选：B．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的最值和相似三角形的判定与性质，需要了解如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．