Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；

（2）存在，Q（-1，2）；

（3）存在，点P坐标为（-，），S△BPC最大=；

【解析】试题分析：(1)、将点A和点B代入函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式；(2)、根据题意得出A、B两点关于对称轴对称，则直线BC与x=－1的交点就是点Q，根据题意得出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，从而得出点Q的坐标；(3)、首先设点P的坐标，然后根据△BPC的面积等于四边形BPCO的面积减去△BOC的面积，然后列出关于x的函数解析式，从而得出最大值.

试题解析：(1)、将A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x2+bx+c中得

∴∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；

(2)、存在

理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称

∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小∵y=﹣x2﹣2x+3 ∴C的坐标为：（0，3）

直线BC解析式为：y="x+3" Q点坐标即为解得∴Q（﹣1，2）；

(3)、存在．

理由如下：设P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0） ∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣

若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大，

∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC=BEPE+OE（PE+OC）=（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）

=

当x=﹣时，S四边形BPCO最大值=∴S△BPC最大=

<>当x=﹣时，﹣x2﹣2x+3=∴点P坐标为（﹣，）．